Из условия имеем AB = BC, значит, треугольник ABC равнобедренный. Так как ∠ABD = 2∠BDC, то ∠ABD + ∠BDC = 180° (сумма углов в треугольнике). Тогда ∠BDC = ∠ACB. Так как треугольник ABC равнобедренный, то ∠ACB = ∠ABC. Теперь рассмотрим угол ∠CBD. Из условия ∠CBD = 2∠ADB, но так как треугольник ADB – равнобедренный, то ∠ADB = ∠ABD. Следовательно, ∠CBD = 2∠ABD. Так как угол ∠ABD равен ∠BDC, то получаем, что ∠CBD = 4∠BDC = 4∠ABD = 2∠ADB. Таким образом, получаем, что ∠ACD = 2∠ADB = ∠CBD. Так как углы данного четырехугольника ∠ACD и ∠CBD равны, то он также равенственен треугольнику CBD. Значит AD = DC.