Докажем это следующим образом:

Пусть дан выпуклый четырехугольник ABCD.

Проведем диагональ AC и разобьем четырехугольник на два треугольника ABC и ACD. Так как сумма углов в треугольнике равна 180°, то у нас получится, что угол ABC + угол BAC + угол ACB = 180°, а угол ACD + угол ADC + угол DAC = 180°.

Сложим углы ABC, BAC, ACB, ADC и DAC: угол ABC + угол BAC + угол ACB + угол ACD + угол ADC + угол DAC = 180° + 180° = 360°.

Таким образом, сумма всех углов выпуклого четырехугольника равна 360°.