Высота ( h ) правильной треугольной пирамиды равна ( 4\sqrt{3} ), а сторона основания ( a ) равна 13 см. Чтобы найти боковое ребро ( l ), мы можем воспользоваться теоремой Пифагора для треугольника ( AHB ), где ( H ) - вершина пирамиды, ( A ) и ( B ) - вершины основания:

[
l^2 = (a/2)^2 + h^2
]
[
l^2 = (13/2)^2 + (4\sqrt{3})^2 = 42.25 + 48 = 90.25
]
[
l = \sqrt{90.25} = 9.5
]

Теперь найдем площадь боковой поверхности пирамиды. Боковая поверхность пирамиды равна сумме площадей всех четырех равнобоких треугольников. Площадь одного равнобочного треугольника равна:

[
S_{\text{тр}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot l = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot 9.5 = 61.75 \, \text{см}^2
]

Тогда площадь боковой поверхности:

[
S{\text{б}} = 4 \cdot S{\text{тр}} = 4 \cdot 61.75 = 247 \, \text{см}^2
]

Итак, боковое ребро пирамиды равно 9.5 см, а площадь боковой поверхности - 247 см².