В прямоув прямоугольном треугольнике ABC проводятся высота BH к гипотенузе и биссектриса AL, которая пересекает BH в точке M. Докажите, что треугольник BML равнобедренный
В прямоув прямоугольном треугольнике ABC проводятся высота BH к гипотенузе и биссектриса AL, которая пересекает BH в точке M. Докажите, что треугольник BML равнобедренный
Похожие вопросы
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
Для начала обозначим углы треугольника ABC как α, β и γ, где угол γ против гипотенузы.
Так как AL - биссектриса угла A, то угол BAL равен углу CAM, то есть α/2. Но угол BAL равен углу BAC (так как AL - биссектриса), то есть α/2 = α + β/2, откуда β = α. Таким образом, углы треугольника ABC равны α, α и 90° - 2α.
Теперь рассмотрим треугольник BHM. Углы BHM и BMH равны, так как BH = BM (обе величины являются расстоянием от точки H до гипотенузы). Обозначим угол BHM как δ.
Так как в треугольнике BHM сумма углов равна 180°, получаем δ + 90° - 2α + δ = 180°, откуда δ = α - 45°.
Теперь рассмотрим треугольник BLM. Угол LBM равен α + δ = α + α - 45° = 2α - 45°, угол LMB равен 180° - 2α (дополнительный угол к биссектрисе угла ABC) = 90° + 2α.
Таким образом, углы треугольника BLM равны 2α - 45°, 2α - 45° и 90° + 2α. Получаем, что треугольник BLM действительно равнобедренный.