Пусть основание равнобедренного треугольника равно a, то есть каждая из его сторон равна a. Пусть высота, проведенная к основанию, равна h.

Так как окружность радиуса 3 касается боковых сторон треугольника, то длина отрезка, соединяющего точку касания с противолежащей вершиной основания, равна 2*3 = 6.

По условию этот отрезок делится высотой треугольника в отношении 6:5, считая от вершины. Значит, мы можем сделать следующий вывод:

6/h = 6/5
h = 5

Таким образом, высота треугольника равна 5.

Теперь найдем площадь треугольника. Известно, что площадь равнобедренного треугольника равна (a*h)/2. Подставим известные значения:

S = (a*5)/2 = 5a/2

С другой стороны, площадь треугольника можно найти через формулу Герона, зная длины его сторон. Так как треугольник равнобедренный, две его стороны равны a, а третья сторона равна 2*3 = 6 (как отрезок, соединяющий точку касания с противолежащей вершиной основания). Итак, полупериметр треугольника равен (a + a + 6)/2 = (2a + 6)/2 = a + 3.

Теперь можем найти площадь треугольника по формуле Герона:

S = sqrt[(a + 3)(a)(a)(3 - a)] = sqrt(a(a+3)(3-a)).

Так как из условия, площадь треугольника равна 5a/2, то можем приравнять это уравнение:

5a/2 = sqrt(a(a+3)(3-a)).

Разрешим это уравнение, чтобы найти значение а и далее найти площадь треугольника.