Периметр четырёхугольника с вершинами в серединах сторон прямоугольника равен сумме длин его сторон. Поскольку диагональ прямоугольника делит его на два прямоугольных треугольника, каждый из которых имеет гипотенузу равной 16, а катеты равны половине длины сторон прямоугольника, то мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длины сторон прямоугольника:

a^2 + b^2 = c^2,

где a и b - катеты, c - гипотенуза (в данном случае c = 16).

Поскольку середины отрезков делят их пополам, чтобы найти стороны четырёхугольника, мы можем воспользоваться формулой:

a' = a / 2,
b' = b / 2.

Тогда периметр четырёхугольника равен:

P = 2 * (a' + b').

Подставив значения a и b из формулы Пифагора и решив уравнения, получим:

a = 8 sqrt(3),
b = 8 sqrt(7).

Таким образом,

a' = 4 sqrt(3),
b' = 4 sqrt(7).

Тогда периметр четырёхугольника равен:

P = 2 (4 sqrt(3) + 4 sqrt(7))
P = 8 sqrt(3) + 8 * sqrt(7)
P ≈ 45.08.

Итак, периметр четырёхугольника с вершинами в серединах сторон прямоугольника равен приблизительно 45.08.