Для начала найдем радиус основания конуса. Радиус равен половине диаметра, т.е. r = 10 см / 2 = 5 см.

Затем найдем высоту конуса. Она равна катету прямоугольного треугольника, образованного основанием конуса, радиусом и образующей конуса. По теореме Пифагора:

r^2 + h^2 = l^2,

где r - радиус основания, h - высота конуса, l - образующая конуса. Так как у нас равнобедренный прямоугольный треугольник, то образующая l равна удвоенному значению катета. То есть l = 2r. Подставляем значение l:

5^2 + h^2 = (2 * 5)^2,
25 + h^2 = 100,
h^2 = 100 - 25 = 75,
h = √75 = 5√3 см.

Теперь можем найти объем конуса по формуле:

V = (1/3) π r^2 h,
V = (1/3) π 5^2 5√3,
V = (1/3) π 25 * 5√3,
V = (125/3)π√3,
V ≈ 218.7 см^3.

Ответ: объем конуса при диаметре основания 10 см составляет около 218.7 кубических сантиметров.