Для начала найдем вершины середины сторон прямоугольного треугольника MNK:

M - середина стороны MK
N - середина стороны KN
K - середина стороны NM

Так как треугольник MNK прямоугольный, то его середины образуют второй прямоугольный треугольник. Для нахождения вершин середины сторон прямоугольного треугольника, мы можем использовать теорему о соотношении катетов в прямоугольном треугольнике.

По теореме Пифагора:
MK^2 + NK^2 = MN^2

Подставим значения катетов и найдем гипотенузу MN:
9^2 + 12^2 = MN^2
81 + 144 = MN^2
225 = MN^2
MN = √225
MN = 15 мм

Теперь, найдем вершины середины сторон треугольника MNK:

M - середина стороны MK = 9 / 2 = 4.5 мм
N - середина стороны NK = 12 / 2 = 6 мм
K - середина стороны NM = 15 / 2 = 7.5 мм

Теперь мы можем построить треугольник, вершинами которого являются середины сторон прямоугольного треугольника MNK и найти его периметр:

Периметр треугольника = MK + KN + NM
Периметр = 4.5 + 6 + 7.5
Периметр = 18 мм

Итак, периметр треугольника, вершинами которого являются середины сторон прямоугольного треугольника MNK с катетами 9 мм и 12 мм, равен 18 мм.