Пусть ( h ) - искомая высота пирамиды.

Так как боковая поверхность пирамиды равновелика сумме оснований, то её площадь равна сумме площадей оснований.

Пусть ( S_1 ) и ( S_2 ) - площади оснований, ( S_b ) - площадь боковой поверхности.

Тогда ( S_b = S_1 + S_2 ).

Площадь боковой поверхности пирамиды равна ( S_b = \frac{p \cdot h}{2} ), где ( p ) - полупериметр пирамиды.

Посчитаем площади оснований:

( S_1 = 4 \cdot 4 = 16 ) см²

( S_2 = 1 \cdot 1 = 1 ) см²

Теперь составим уравнение с учетом условия задачи:

( 16 + 1 = \frac{p \cdot h}{2} )

( 17 = \frac{2h + 8}{2} )

( 34 = 2h + 8 )

( 2h = 26 )

( h = 13 )

Таким образом, высота правильной четырёхугольной усеченной пирамиды равна 13 см.