Поскольку трапеция KLMN вписана в окружность с центром на одной из оснований, то она является равнобедренной. Пусть длина основания KN равна а, а длина боковой стороны KL равна b.

Так как трапеция равнобедренная, то диагонали KM и LN равны. Поэтому диагональ KM равна 4 см, а значит диагональ LN тоже равна 4 см.

Также из условия имеем, что сторона KL равна 3 см.

Так как у трапеции KM=LN=4см и KL=3см, то у треугольника KLM разность сторон MN=1см.

Поскольку трапеция вписана в окружность, то диагонали трапеции (KM и LN) являются диаметрами этой окружности. Из геометрии известно, что длина диаметра в два раза больше радиуса. Поэтому радиус окружности равен 2 см.

Теперь найдем высоту трапеции. Для этого воспользуемся треугольником KLN, который является прямоугольным с гипотенузой 4 см и катетом 2 см. По теореме Пифагора находим высоту трапеции:
h = √(4^2 - 2^2) = √12 = 2√3 см.

Теперь можем найти основание LM, для этого воспользуемся треугольником KLM. Основание LM равно сумме сторон AK и AL треугольника, где AK равно радиусу (2 см), а AL равно высоте (2√3 см):
LM = AK + AL = 2 + 2√3 = 2 + 2√3 см.

Таким образом, длина основания LM равна 2 + 2√3 см.