Пусть сторона основания пирамиды равна $a$, а её высота равна $h$.

Так как диагональное сечение правильной четырехугольной пирамиды представляет собой правильный треугольник, то высота правильного треугольника равна $\frac{\sqrt{3}}{2}a$.

Таким образом, объем пирамиды равен:
$$V=\frac{1}{3}\cdot S_{\text{осн}}\cdot h=\frac{1}{3}\cdot a^2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{\sqrt{3}}{6}{a}^3=1$$ $$a^3=\frac{6}{\sqrt{3}}$$ $$a=\sqrt[3]{\frac{6}{\sqrt{3}}}=\sqrt[3]{6\sqrt{3}}=\sqrt[3]{6}\sqrt[3]{\sqrt{3}}=\sqrt[3]{6}\sqrt[6]{3}=\sqrt[6]{216}$$

Таким образом, сторона основания пирамиды равна $\sqrt[6]{216}$.