Обозначим основания трапеции через а и b (a > b), а высоту через h. Тогда по условию задачи имеем систему уравнений:

[\left{ \begin{array}{l}
a = b + 4 \
h^2 = \left( \frac{a + b}{2} \right)^2 + 13^2
\end{array} \right.]

Подставим значение a из первого уравнения во второе:

[h^2 = \left( \frac{b + 4 + b}{2} \right)^2 + 13^2]

[h^2 = \left( \frac{2b + 4}{2} \right)^2 + 13^2]

[h^2 = (b + 2)^2 + 13^2]

[h^2 = b^2 + 4b + 4 + 169]

[h^2 = b^2 + 4b + 173]

Так как средняя линия трапеции равна 13 см, то получаем:

[\frac{a + b}{2} = 13]

[a + b = 26]

Теперь можем выразить a через b из системы уравнений:

[a = 26 - b]
[b + 4 = 26 - b]
[2b = 22]
[b = 11]

Теперь найдем a и h:

[a = 26 - 11 = 15]

[h^2 = 11^2 + 4 \cdot 11 + 173]
[h^2 = 121 + 44 + 173]
[h^2 = 338]
[h = \sqrt{338} \approx 18.39]

Итак, основания трапеции равны 15 см и 11 см, а высота равна примерно 18.39 см.