Для нахождения угла М в треугольнике MNP воспользуемся формулой косинусов.

Угол М можно найти следующим образом:

cos(M) = (b^2 + c^2 - a^2) / (2bc),

где a, b, c - стороны треугольника, а соответственно углы напротив них.

Так как угол P = 45 градусов, то угол N = 180 - 90 - 45 = 45 градусов.

Теперь можно найти сторону MN:
MN^2 = NP^2 + MP^2 - 2 NP MP cos(N)
MN^2 = (4√3)^2 + (4√2)^2 - 2 4√3 4√2 cos(45)
MN^2 = 48 + 32 - 32 = 48

MN = √48 = 4√3.

Теперь подставим все известные значения в формулу косинусов:

cos(M) = (4√3)^2 + (4√2)^2 - (4√3)^2 - (4√3)^2) / (2 4√2 4√3)
cos(M) = 48 + 32 - 48 - 32 / (2 * 16√2)
cos(M) = 32 / 32√2
cos(M) = 1 / √2
cos(M) = √2 / 2.

Теперь найдем угол М:

M = arccos(√2 / 2)
M = 45 градусов.

Таким образом, угол М в треугольнике MNP равен 45 градусов.