Пусть высота треугольника равна h, а гипотенуза равна c.

Из условия задачи следует, что отрезок, на который высота треугольника делит гипотенузу, равен 16 см, а отрезок, на который гипотенуза делит высоту, равен 9 см. Таким образом, имеем два подобных треугольника: один с высотой 9 см и гипотенузой 16 см, а второй с высотой h и гипотенузой c.

Из подобия треугольников получаем, что отношение высот к гипотенузе равно в обоих треугольниках:

h/16 = 9/c

откуда h = 144/c

Также по теореме Пифагора имеем:

h^2 + (c/2)^2 = c^2

Подставляем найденное значение h, получаем:

(144/c)^2 + (c/2)^2 = c^2

Решив это уравнение, найдем значение гипотенузы c = 20 см.

Теперь можем найти площадь треугольника. Площадь равнобедренного треугольника равна S = (1/2)ch = (1/2)20144 = 1440 кв.см.