Для начала найдем сторону AC по теореме косинусов:
cos(C) = (a^2 + c^2 - b^2) / (2ac)
cos(80) = (12^2 + c^2 - 12^2) / (2 12 c)
cos(80) = c / 2c
cos(80) = 1/2
c = 212cos(80)
c ≈ 7.52

Теперь можем найти площадь треугольника ABC:
S = 1/2 a c sin(A)
S = 1/2 12 7.52 sin(60)
S ≈ 44.63

Теперь найдем радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.
r = S / p
где p - полупериметр треугольника ABC
p = (a + b + c) / 2
p = (12 + 12 + 7.52) / 2
p ≈ 15.76
r = 44.63 / 15.76 ≈ 2.83

Теперь найдем площадь сегмента круга по формуле:
a = r^2 arccos((r - h) / r) - (r - h) sqrt(2rh - h^2)
где h - высота сегмента
h = r - rcos(40) ≈ 2.83 - 2.83 * cos(40)
h ≈ 1.75

Теперь можем найти площадь сегмента круга:
a = 2.83^2 arccos((2.83 - 1.75) / 2.83) - (2.83 - 1.75) sqrt(2 2.83 1.75 - 1.75^2)
a ≈ 10.22

Наконец, площадь общей части круга и треугольника:
S общ = S треугольника - площадь сегмента
S общ ≈ 44.63 - 10.22 ≈ 34.41

Ответ: Площадь общей части круга и треугольника составляет около 34.41.