Пусть треугольник $ABC$ равнобедренный, то есть стороны $AB$ и $AC$ равны, и высота $h$ проведенная к стороне $BC$ также равна. Обозначим $O$ - середина отрезка $BC$ и проведем высоту $OH$. Так как $AB = AC$, $O$ - середина $BC$, то треугольник $BOC$ равнобедренный, и $OB = OC$.

Теперь построим правильные треугольники $AHO$ и $HOC$. Так как $AH = CO$, $HO = HO$ и $\angle AHO = \angle HOC = 60^\circ$, эти треугольники равнобедренные и $AH = HO = OC$.

Так как $AH = HO$ и $AH = CO$, то $CO = OC$, то есть треугольник $AOC$ равнобедренный. Значит, у треугольника $ABC$ будут равными боковая сторона $AB$, сторона $AC$ и высота $h$, что и означает, что треугольник равнобедренный.