Для нахождения наибольшей площади треугольника при заданной сумме основания и высоты, нужно, чтобы треугольник был равнобедренным. Так как сумма основания и высоты равна 12 см, то имеем 2 равные ноги равные х см и высоту у см:

2x + y = 12,

y = 12 - 2x.

Площадь S треугольника равнобедренного треугольника можно найти по формуле:

S = 0.5 основание высота = 0.5 x (12 - 2x) = 6x - x^2.

Для нахождения наибольшей площади треугольника нужно найти точку экстремума квадратного уравнения S = 6x - x^2. Находим первую производную и приравниваем к нулю:

S' = 6 - 2x = 0,

2x = 6,

x = 3.

Таким образом, для наибольшей площади треугольника при заданной сумме основания и высоты, основание должно быть равно 3 см.