Обозначим высоту равнобедренной трапеции как h, а длину основания BC как x.

Поскольку проведенная из вершины С высота делит основание AD на отрезки длиной 10 и 11 см, то получаем, что отрезки AD и DC равны 10 и 11 см соответственно.

Так как трапеция равнобедренная, то DC = AB = 11 см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник BDC. По теореме Пифагора:

BD^2 = BC^2 - DC^2.

Подставляем значения и получаем:

x^2 = h^2 - 11^2.

Также, так как проведенная высота делит основание AD в отношении 10:11, то h = 10x/21.

Теперь подставляем выражение для h в уравнение для x:

x^2 = (10x/21)^2 - 121.

Решая это уравнение, найдем x = 21 см.

Итак, длина основания BC равна 21 см.