Обозначим более длинную боковую сторону трапеции как a, более короткую как b, а основания - как c и d.

Так как точка K - точка пересечения диагоналей, то она будет центром вписанной в трапецию окружности. Поэтому отрезок KD будет равен радиусу вписанной окружности i.

Так как расстояния от точки К до боковых сторон равны 4 и 5, а точка К лежит на обеих диагоналях, то:

AK = 4, BK = 5

Также мы знаем, что отрезки KD и KC являются высотами прямоугольных треугольников KAB и KCD строились на катетах KA и KB.

Тогда получаем систему:

i^2+16=a^2
i^2+25=b^2

i^2+KC^2=c^2
i^2+KD^2=d^2

Применим теорему Пифагора к треугольникам KAB и KCD:

a^2+b^2=i^2
c^2+d^2=i^2

Подставляем известные значения:

16+25=i^2
c^2+d^2=25

i^2 = 41
c^2+d^2=25

Таким образом, площадь трапеции равна: S = (c+d)*h/2 = 5(c+d)/2

Из суммы квадратов трапеции и прямоугольника:

5(c+d)/2 = 41
c^2 + d^2 = 25

Найдем решение этой системы уравнений. Сложим два уравнения и подставим второе в первое:

c^2 + d^2 = 25
(c+d)^2 = 82
c + d = √82

Отсюда можем найти площадь трапеции:

S = 5√82 / 2

Радиус вписанной окружности будет равен решению уравнения i = √41.