Дано: AB = 8 см, ∠A = 60°, ВН - высота, AD = 2x.

Так как ВН делит основание AD пополам, то BN = ND = x.

Из прямоугольного треугольника BHN найдем BH:
cos(60°) = BH / BN
0.5 = BH / x
BH = 0.5x

Так как AB = 8 см, то BC = AB - 2 BH = 8 - 2 0.5x = 8 - x.

Из треугольника BCH найдем CH:
sin(60°) = BH / BC
√3 / 2 = 0.5x / (8 - x)
√3(8 - x) = x
8√3 - √3x = x
8√3 = x + √3x
(8 + √3)x = 8√3
x = 8√3 / (8 + √3)
x = 8√3 (8 - √3) / (8² - 3)
x = 8√3 (8 - √3) / (64 - 3)
x = 8√3 * (8 - √3) / 61
x ≈ 3.1607

Теперь найдем высоту ВН:
HN = √(BH² + BN²) = √((0.5*3.1607)² + 3.1607²) ≈ √(0.25 + 10) ≈ √10.25 ≈ 3.2016

Площадь трапеции равна:
S = ((AB + BC) / 2) HN = ((8 + (8 - 3.1607)) / 2) 3.2016 ≈ 5.4195 * 3.2016 ≈ 17.35 см²

Ответ: площадь трапеции равна 17.35 см².