Для решения данной задачи нам понадобятся знания о тригонометрических функциях и теореме синусов.

В треугольнике $ABC$ с углом в $145^\circ$, мы составим высоту $CH$, где $H$ - это точка пересечения высоты с стороной $AB$.

Поскольку треугольник $ABC$ не является прямоугольным, теорему синусов можно использовать для нахождения стороны, равной основанию, $AB$. Для этого рассмотрим треугольник $ACH$, где у нас имеется прямоугольный треугольник.

Таким образом, катет $CH$ равен 12 см, а угол $AHC$ равен $35^\circ$ (поскольку угол $BHC$ также равен $35^\circ$).

Используем теорему синусов для треугольника $ACH$:

$$\frac{CH}{\sin AHC} = \frac{AC}{\sin ACH}$$

$$\frac{12}{\sin 35^\circ} = \frac{AC}{\sin 90^\circ}$$

$$AC = 12 \cdot \frac{\sin 90^\circ}{\sin 35^\circ}$$

$$AC = 12 \cdot \frac{1}{\sin 35^\circ} \approx 20.51 \, \text{см}$$

Теперь, зная сторону $AC$, мы можем рассчитать основание $AB$ по теореме синусов для треугольника $ABC$:

$$\frac{AB}{\sin 35^\circ} = \frac{AC}{\sin 145^\circ}$$

$$\frac{AB}{\sin 35^\circ} = \frac{20.51}{\sin 145^\circ}$$

$$AB = 20.51 \cdot \frac{\sin 35^\circ}{\sin 145^\circ} \approx 10.1 \, \text{см}$$

Таким образом, основание треугольника $ABC$ равно приблизительно 10.1 см.