Пусть катеты треугольника равны a и b, а гипотенуза равна c.
Так как диаметр окружности равен 16 см, радиус окружности будет равен 8 см. Радиус вписанной окружности треугольника равен половине гипотенузы, то есть r = c/2.
Так как сумма катетов равна 61 см, то a + b = 61.
По теореме Пифагора имеем:
a^2 + b^2 = c^2.

Также, так как вписанная окружность касается сторон треугольника, получаем, что a + b = c, или a = c - b.

Из этих уравнений можно составить систему уравнений:

c/2 = 8,
a + b = 61,
a^2 + b^2 = c^2,
a = c - b.

Из первого уравнения получаем, что c = 16. Также из второго уравнения можем выразить одну из переменных через другую: a = 61 - b. Подставляем это в уравнение третье и второе уравнение системы:

(61 - b)^2 + b^2 = 16^2,
61^2 - 261b + b^2 + b^2 = 256,
2b^2 - 122b + 1595 = 0.

Решая это квадратное уравнение, находим два значения b: b1 ≈ 43,9 и b2 ≈ 18,2.
Так как a = 61 - b, то a1 ≈ 17,1 и a2 ≈ 42,8.
Подставляем данные значения в c = a + b и находим, что c1 ≈ 61 и c2 ≈ 86.

Ответ: гипотенуза треугольника равна 61 см.