Из условия известно, что сторона ( AC ) равностороннего треугольника лежит в плоскости ( \alpha ) и равна 10 см, а вершина ( B ) удалена от плоскости на 8 см.

1) Найдем проекции сторон ( AB ) и ( BC ) на плоскость ( \alpha ).

Рисунок:

D
/|
/ |
C1 /__| B
\ |
\ |
\|
D1

Пусть ( O ) - центр равностороннего треугольника ( ABC ), тогда ( OB = OC = OA = 10/√3 ) см.

Точка ( B ) удалена от плоскости ( \alpha ) на 8 см, значит, проекция точки ( B ) на плоскость ( \alpha ) лежит на отрезке ( BD ) и равна 8 см.

Точка ( B ) также удалена от плоскости ( \alpha ) на расстояние ( OA ), то есть 10/√3 см. Следовательно, проекция точки ( B ) на плоскость ( \alpha ) также равна 10/√3 см.

Теперь найдем проекцию стороны ( BC ) на плоскость ( \alpha ). Так как сторона ( BC ) также лежит в плоскости ( \alpha ), ее проекция равна самой стороне ( BC ), то есть 10 см.

Итак, проекции сторон ( AB ) и ( BC ) на плоскость ( \alpha ) равны 10/√3 см и 10 см соответственно.

2) Для нахождения расстояния между точками ( D ) и ( D1 ) в квадратах ( ABCD ) и ( ABCD1 ) составим параллелограмм ( DCBD1 ).

Рисунок:

D
/|
/ |
C1 /__| B
\ |
\ |
\|
D1

Площадь параллелограмма равна модулю векторного произведения векторов ( \overrightarrow{CD} ) и ( \overrightarrow{CD1} ):

[ S_{\text{параллелограмма}} = | \overrightarrow{CD} x \overrightarrow{CD1} | ]

Так как ( \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BD} = -\overrightarrow{DB} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{0} ), то площадь параллелограмма будет равна 0.

Таким образом, расстояние между точками ( D ) и ( D1 ) в квадратах ( ABCD ) и ( ABCD1 ) равно 0.