Сначала найдем площадь треугольника ABC по формуле Герона:
p = (AB + BC + AC) / 2 = (14 + 20 + 21) / 2 = 27.5 см
S = √(p(p - AB)(p - BC)(p - AC)) = √(27.5(27.5 - 14)(27.5 - 20)(27.5 - 21)) = √(27.5 13.5 7.5 * 6.5) = √44400 = 210 см²

Теперь найдем высоту, проведенную из вершины A:
h = 2S / BC = 2 * 210 / 20 = 21 см

Отрезок AD является биссектрисой, поэтому разобьем треугольник на два прямоугольных:
AD² = AB AC - (BC² AB) / (AC + BC) = 14 21 - (20² 14) / (21 + 20) = 294 - 560 / 41 = 294 - 13.66 ≈ 16.34

AD ≈ √16.34 ≈ 4.04 см

Сначала найдем площадь треугольника ABC по формуле Герона:
p = (AB + BC + AC) / 2 = (12 + 16 + 20) / 2 = 24 см
S = √(p(p - AB)(p - BC)(p - AC)) = √(24(24 - 12)(24 - 16)(24 - 20)) = √(24 12 8 * 4) = √(9216) = 96 см²

Теперь найдем высоту, проведенную из вершины A:
h = 2S / BC = 2 * 96 / 16 = 12 см

Отрезок AD является медианой, поэтому разобьем треугольник на два прямоугольных:
AD² = 2(AB² + AC²) - BC² / 2 = 2(12² + 20²) - 16² / 2 = 2(144 + 400) - 256 / 2 = 1088 / 2 = 544

AD = √544 = 23.32 см

Обозначим стороны треугольника: AB = 12 см, BC = 8 см, AC = x см.
Угол А = 2 угла В, угол C = 180 - 3 угла В.

Запишем закон косинусов для треугольника ABC:
x² = 12² + 8² - 2 12 8 cos(3 угла В)
x² = 144 + 64 - 192 cos(3 угла В)
x² = 208 - 192 cos(3 угла В)

Также из условия угол А = 2 угла В:
cos(A) = cos(2 B) = cos²(B) - sin²(B) = 2cos²(B) - 1

Подставим значение cos(A) в выражение для x:
x² = 208 - 192 * (2cos²(B) - 1)
x² = 208 - 384cos²(B) + 192
x² = 400 - 384cos²(B)

Так как x > 0, то cos²(B) = 0. Мы знаем, что сумма углов треугольника равна 180 градусам, следовательно, угол B = 30 градусов.

Теперь найдем сторону x:
x² = 400 - 384 cos²(30)
x² = 400 - 384 (3/4)
x² = 400 - 288
x = √112 = 4√7

Ответ: длина третьей стороны треугольника ABC равна 4√7 см.