Для решения данной задачи, найдем основание треугольника используя формулу прямоугольного треугольника: ( a^2 + b^2 = c^2 ), где ( c ) - гипотенуза.

По условию, гипотенуза равна 10 см. Так как треугольник равнобедренный, то равенство ( a = b ) верно, где ( a ) и ( b ) - катеты треугольника.

Таким образом, мы можем записать формулу для нахождения катетов: ( a^2 + a^2 = 10^2 ), ( 2a^2 = 100 ), ( a^2 = 50 ), ( a = \sqrt{50} ).

Теперь найдем площадь треугольника: ( S = \frac{1}{2}ab ), ( S = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{50} \cdot \sqrt{50} ), ( S = \frac{1}{2} \cdot 50 ), ( S = 25 ) см².

Итак, площадь прямоугольного равнобедренного треугольника с гипотенузой длиной 10 см равна 25 квадратным сантиметрам.