Доказательство:

Так как AB=BC, то угол ABC= углу BCA.

Так как угол ABC и угол BCA смежные и равны, то угол ABC= угол BCA =60°

Так как угол ABD = 30°, то угол ABC = 90° (из суммы углов треугольника).

Так как BD - высота треугольника ABC, то треугольник ABD - прямоугольный и равнобедренный (AB=BC, угол ABC = 90°, угол ABD = 30°).

Из равнобедренности треугольника ABD следует, что угол ADB = угол DAB = 75°.

В прямоугольном треугольнике ABD с углом ADB = 90° и углом DAB = 75°, используя тригонометрические функции, найдем сторону AD:

tg(75°) = AD/BD

tg(75°) = AD/AB

AD = AB*tg(75°)

AD = AB*4

С учетом, что AB=BC, получаем:

AD = BC*4

AD = 2*BC

AD = 2*AB

Следовательно, AD = 1/2*AB.

Что и требовалось доказать.