Чтобы параллелограмм, образованный соединением середин сторон четырёхугольника, был прямоугольником, необходимо и достаточно, чтобы его диагонали были равными и перпендикулярными.

Пусть M, N, P, Q - середины сторон AB, BC, CD, DA соответственно. Тогда, если MN = PQ и NP = MQ, то параллелограмм будет прямоугольником.

Докажем это:
Поскольку M, N, P, Q - середины сторон, то MQ = NP = (1/2)AB, NP = MQ = (1/2)BC, PQ = MN = (1/2)CD, и QP = NM = (1/2)DA.
Из равенства MQ = NP и NP = MQ следует, что треугольник MQP равен треугольнику PNM, а значит, у них противоположные стороны будут параллельными. Аналогично для треугольников PQN и MNP. Это означает, что параллелограмм MNPQ является прямоугольником.

Таким образом, условиями, при которых параллелограмм, образованный соединением середин сторон четырёхугольника, будет прямоугольником, являются равенство длин его диагоналей и равенство половин сторон четырёхугольника.