Обозначим стороны прямоугольника следующим образом:
AB = a, BC = b.

Так как прямая, проведенная через середину диагонали AC, делит ее пополам, то она является медианой треугольника ABC. Тогда точка K - середина стороны BC, а точка E - середина стороны AD.

Так как KE = AE = 8 см, то KE = AE = 1/2 BC = 1/2 AD = 8 см. Из этого следует, что BC = AD = 16 см.

Так же, по теореме Пифагора для треугольника ABK:
BK^2 + AK^2 = AB^2,
(1/2 BC)^2 + (1/2 AC)^2 = AB^2,
(1/2 16)^2 + (1/2 a)^2 = a^2,
8^2 + (1/2 a)^2 = a^2,
64 + 1/4 a^2 = a^2,
64 + a^2 / 4 = a^2,
64 = 3/4 a^2,
a^2 = 64 4 / 3,
a^2 = 256 / 3,
a = 16 * √3 / 3.

Таким образом, наибольшая сторона прямоугольника равна a = 16 * √3 / 3 см.