Для того чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD является параллелограммом, достаточно доказать, что противоположные стороны этого четырёхугольника параллельны.

Для начала найдем уравнения прямых, проходящих через каждую сторону четырёхугольника ABCD.

Сторона AB:
Уравнение прямой, проходящей через точки A(-1,2) и B(2,5):
y = 3x + 5

Сторона BC:
Уравнение прямой, проходящей через точки B(2,5) и C(2,1):
x = 2

Сторона CD:
Уравнение прямой, проходящей через точки C(2,1) и D(-1,-2):
y = -3x + 7

Сторона DA:
Уравнение прямой, проходящей через точки D(-1,-2) и A(-1,2):
x = -1

Теперь проверим, что противоположные стороны параллельны:

AB || CD, так как их угловые коэффициенты равны 3 и -3 соответственно.
BC || DA, так как эти прямые вертикальные и параллельны друг другу.

Таким образом, четырёхугольник ABCD является параллелограммом.