Для доказательства, что четырехугольник АВСД является параллелограммом, нужно показать, что противоположные стороны параллельны и равны по длине.

Для начала найдем координаты векторов AB, AC и AD:

AB = В - A = (0 - 1, 2 - 3, 4 - 2) = (-1, -1, 2)
AC = C - A = (1 - 1, 1 - 3, 4 - 2) = (0, -2, 2)
AD = D - A = (2 - 1, 2 - 3, 2 - 2) = (1, -1, 0)

Теперь проверим, что вектора AB и CD равны: AB = CD = (-1, -1, 2)

Теперь найдем косинус угла A между векторами AB и AD по формуле:

cos A = (AB AD) / (|AB| |AD|)

где AB * AD - скалярное произведение векторов AB и AD, |AB| и |AD| - их длины.

AB AD = (-11 + -1-1 + 20) = 1 + 1 = 2
|AB| = sqrt((-1)^2 + (-1)^2 + 2^2) = sqrt(1 + 1 + 4) = sqrt(6)
|AD| = sqrt(1^2 + (-1)^2 + 0^2) = sqrt(2)

Теперь подставляем полученные значения в формулу:

cos A = 2 / (sqrt(6) * sqrt(2)) = 2 / (sqrt(12)) = 2 / (2sqrt(3)) = 1 / sqrt(3) = sqrt(3) / 3

Таким образом, мы доказали, что четырехугольник АВСД является параллелограммом, и нашли значение cos A, которое равно sqrt(3) / 3.