Теорема: Перпендикуляр, проведенный из данной точки к данной прямой, является кратчайшим отрезком, соединяющим эту точку и прямую.

Доказательство:

Пусть дана точка A и прямая l, к которой проведен перпендикуляр AB. Предположим, что есть другая точка C на прямой l такая, что AC < AB.

Пусть D - проекция точки C на прямую l. Тогда, по определению перпендикуляра, BD < CD. Таким образом, AC + CD < AB + BD, что означает, что отрезок AC + CD меньше, чем отрезок AB, что противоречит тому, что AB - кратчайший.

Следовательно, перпендикуляр AB является кратчайшим отрезком, соединяющим точку и прямую.