Для доказательства этого утверждения рассмотрим трапецию $ABCD$, вписанную в окружность с центром $O$. Проведем диаметр окружности $OE$, который будет являться высотой трапеции.

Из свойств окружностей, угол между хордой и диаметром, проведенным к ее концу, равен $90^\circ$. Значит, угол $AED$ прямой.

Так как $OE$ является высотой трапеции, то треугольники $OEA$ и $OED$ равнобедренные, так как у них равны основание трапеции $AD$ и соответствующие высоты $OE$. Из свойства равнобедренного треугольника следует, что углы $OAE$ и $ODE$ равны.

Таким образом, углы $AOE$ и $DOE$ также равны, так как они являются суммой равных углов $OAE$ и $ODE$. Из данных углов следует, что дуги $AE$ и $DE$ равны.

Теперь рассмотрим четырехугольник $ABCD$. У него две пары равных сторон ($AD = BC$ и $CD = AB$), так как это боковые стороны вписанного многоугольника. Так как стороны четырехугольника равны, то у него пара противоположных углов смежных сторон, то есть углы $DAB$ и $ADC$ равны, так как эти углы являются противолежащими вершинами четырехугольника.

Таким образом, трапеция $ABCD$ оказалась равнобедренной.