Объем правильной треугольной пирамиды можно найти по формуле:

V = (1/3) S h,

где S - площадь основания, h - высота пирамиды.

Сначала найдем высоту пирамиды. Треугольник, образованный высотой, одним из боковых ребер и линией от вершины пирамиды до середины основания, равнобедренный. Таким образом, этот треугольник разбивается на два равнобедренных треугольника с углом 45 градусов и углом 90 градусов.

Зная, что сторона основания равна 2а, и угол между основанием и боковым ребром равен 45 градусов, мы можем найти длину бокового ребра. Поэтому, равнобедренный треугольник разбивается на два прямоугольных треугольника, причем катет и гипотенуза равны 2а.

Таким образом, высота пирамиды h равна a.

Площадь основания S равна:

S = (2a)^2 = 4a^2.

Теперь мы можем найти объем пирамиды:

V = (1/3) 4a^2 a = (4/3) * a^3.

Таким образом, объем правильной треугольной пирамиды равен (4/3) * a^3.