Докажем, что прямые AO1 и BD перпендикулярны.

Поскольку точка O1 - точка пересечения диагоналей грани A1B1C1D1, то она является центром куба. Тогда отрезки AO1 и BO1 являются радиусами описанной окружности куба.

Так как в кубе все ребра равны и углы при основании прямой и перпендикулярной к ней равны 90 градусам, то треугольник AOB является равносторонним.

Значит, угол BAO1 равен 60 градусам, так как в равностороннем треугольнике угол при основании равен 60 градусам.

Следовательно, угол BAO1 равен 60 градусам, а угол BAO1 равен 90 градусам. Значит, прямые AO1 и BD перпендикулярны.