Для нахождения расстояния от точки М до плоскости треугольника, воспользуемся формулой для расстояния от точки до плоскости.

Уравнение плоскости, содержащей треугольник можно найти по формуле: Ax + By + Cz + D = 0, где A, B, C - коэффициенты уравнения плоскости, а x, y, z - координаты точки на плоскости.

Пусть дан треугольник со сторонами 13, 14, 15 см и точка M вне плоскости. Тогда координаты точки М будут (x, y, z), где z - это расстояние от точки М до плоскости треугольника. Обозначим стороны треугольника a = 13 см, b = 14 см, c = 15 см.

Сначала найдем площадь треугольника по формуле Герона:
s = (a + b + c) / 2 = (13 + 14 + 15) / 2 = 21

P = √(s(s - a)(s - b)(s - c)) = √(21 8 7 6) = √(21 8 7 6) = √(7056) = 84 см²

Теперь найдем координаты векторов AB, AC и BC (где A, B, C - вершины треугольника), а также вектор нормали к плоскости треугольника:
AB = (14, 0, 0), AC = (13, 15, 0), BC = (-1, 15, 0)
n = AB x AC = (14, 0, 0) x (13, 15, 0) = (0, 0, 1415 - 130) = (0, 0, 210)

Теперь найдем коэффициент D по формуле D = -n A:
D = - n A = - (0, 0, 210) * (0, 0, 0) = 0

Таким образом, уравнение плоскости треугольника имеет вид:
210z = 0

Теперь запишем уравнение плоскости, проходящей через точку М и перпендикулярной плоскости треугольника:
210z = Mz

Так как точка М удалена на 5 см от плоскости треугольника, то Mz = 5.

Подставляем и находим z:
210z = 5
z = 5 / 210
z = 1 / 42

Таким образом, расстояние от точки М до плоскости треугольника равно 1 / 42 см.