Поскольку радиус описанной около равнобедренного прямоугольного треугольника равен 34, это значит, что он является гипотенузой треугольника. Так как треугольник равнобедренный, то катеты равны, и мы можем воспользоваться формулой Пифагора: (a^2 + a^2 = 34^2), где a - катет треугольника. Решив это уравнение, мы получаем a = 24.

Радиус описанной около прямоугольного треугольника с катетами 16 и 12 также является его гипотенузой. Можем использовать формулу Пифагора: (16^2 + 12^2 = r^2), где r - радиус. Решив уравнение, получаем r = 20.

Радиус описанной около треугольника АВС окружности можно найти по формуле: (R = \frac{AB}{2\sin C}), где AB = 18, C = 45 градусов. Подставив значения, получаем: (R = \frac{18}{2\sin 45} = \frac{18}{2\cdot \sqrt{2}/2} = \frac{18}{\sqrt{2}} = 9\sqrt{2}).

Пусть сторона шестиугольника, которая соответствует отношению 3, равна 3x. Тогда стороны шестиугольника будут 3x, 4x, 5x, 7x, 8x и 6x. Сумма всех сторон равна периметру, то есть (3x + 4x + 5x + 7x + 8x + 6x = 80). Решив это уравнение, получим x = 4. Следовательно, стороны шестиугольника равны 12, 16, 20, 28, 32 и 24. Таким образом, оставшаяся сторона шестиугольника равна 24.