Доказательство:

Пусть ABCDE - правильный пятиугольник, и пусть O - его центр.

Так как пятиугольник ABCDE правильный, то все его стороны равны, а углы при вершинах равны между собой и равны 108 градусам.

Рассмотрим треугольники AOB, AOD и AOC.

Так как треугольник AOB равносторонний (так как сторона AB равна стороне AO), то угол AOB = 60 градусов. Также угол AOD = 60 градусов и угол AOC = 60 градусов (так как стороны AD, AC равны стороне AO).

Значит, диагонали, выходящие из одной вершины, в данном случае из вершины A, делят угол при данной вершине на три равные части.

Таким образом, доказано, что в правильном пятиугольнике диагонали, выходящие из одной вершины, делят угол при данной вершине на три равные части.