Поскольку точка А - середина стороны МР, то МА = РА = 1/2МР.
Так как С делит отрезок МК в отношении 1:7, то МС:СК = 1:7.
Из условия АС перпендикулярна МК и МК = 2МА, следовательно, МК = 2АС.
Таким образом, МК = 2АС = 27МС = 14МС.
Поскольку В - середина стороны МН, то МВ = ВН = 1/2МН.
Так как С - точка, делящая отрезок МК в отношении 1:7, а МК = 14МС, то МС = 1/15МК.
Отсюда МВ = 1/15МК = 1/1514МС = 14/15МС.
Теперь рассмотрим треугольник МВО. Поскольку О - точка пересечения диагоналей, то АО является медианой треугольника МВО.
Так как А - середина стороны МР, а О - точка пересечения диагоналей, то АО = 1/2ВО.
С другой стороны, МС = 1/15МК и ОС = 2МС. Тогда ОС = 215МС = 30МС.
Рассмотрим треугольник ОСВ. ОС = 30МС и МВ = 14/15МС. ВО - медиана треугольника ОСВ.
Согласно теореме о медиане треугольника, ВО = 1/2sqrt(2ОС^2 + 2ВС^2 - СВ^2).
Так как ОС = 30МС, ВО = 1/2sqrt(2(30МС)^2 + 2(14/15МС)^2 - (1/15МС)^2).
Решив данное уравнение, получим, что ВО:РН = 149:15.