Для начала найдем формулы для радиуса описанной и вписанной окружностей правильного многоугольника.
Если сторона правильного n-угольника равна a, то радиус описанной окружности может быть найден по формуле:
R = a / (2 * sin(pi / n)),
где R - радиус описанной окружности, a - сторона многоугольника, n - количество сторон многоугольника, pi - число Пи.

А радиус вписанной окружности равен половине стороны многоугольника:
r = a / 2.

У нас дано, что R = 8√2 см и r = 8 см. Подставим это в формулы:
8√2 = a / (2 * sin(pi / n),
8 = a / 2.

Из второго уравнения находим a = 16 см.
Подставляем это значение в первое уравнение:
8√2 = 16 / (2 * sin(pi / n)),
sin(pi / n) = 1 / √2,
pi / n = π / 4,
n = 4.

Итак, количество сторон правильного многоугольника равно 4, то есть это квадрат.