1) Из углов треугольника ABC видно, что ∠B = 45°.
Так как угол напротив гипотенузы прямоугольного треугольника равен 90°, то треугольник ABC - равнобедренный.
Таким образом, AC = BC.
Используя тригонометрические функции, мы можем найти AC и BC:
AC = BC = AB cos(45°) = 8 cos(45°) = 8 * (√2)/2 = 4√2 cm

Теперь рассмотрим треугольник ACD.
Из условия задачи видно, что он также равнобедренный.
Снова используем тригонометрию:
ACD = 90° - 45° = 45°
CD = AC cos(45°) = 4√2 cos(45°) = 4 cm

Чтобы найти высоту CD, проведенную к гипотенузе, можем воспользоваться теоремой Пифагора:
CD^2 + AD^2 = AC^2
CD^2 + 2^2 = (4√2)^2
CD^2 + 4 = 32
CD^2 = 28
CD = √28 = 2√7 cm

Итак, AC = BC = 4√2 cm, CD = 4 cm, высота CD = 2√7 cm.

2) Так как ABCD - прямоугольник, то ∠ACD = 90°.
Теперь можем использовать теорему Пифагора для треугольника ACD:
CD^2 + AC^2 = AD^2
CD^2 + 4^2 = 2^2
CD^2 + 16 = 4
CD^2 = -12 (некорректное значение, так как квадрат длины стороны не может быть отрицательным)
Следовательно, в данном случае основание и высота не удовлетворяют заданным условиям.

3)
а) Из условия видно, что треугольник ABC - прямоугольный.
Используем теорему Пифагора для нахождения сторон треугольника ABC:
AB^2 + AC^2 = BC^2
AB = 2 MN = 2 6 = 12 cm
AC = 2 * MN = 12 cm
BC = AB + AC = 12 + 12 = 24 cm

б) Треугольник AMN также является прямоугольным, так как угол AMN - прямой.
Используем теорему Пифагора:
AM = √(AN^2 + MN^2) = √((AC/2)^2 + MN^2) = √(6^2 + 6^2) = 6√2 cm

в) Треугольник CMN представляет собой равносторонний треугольник, так как угол MNC равен 30° и MN = 6 см.

4) Пусть A и C - вершины ромба, B и D - точки пересечения его диагоналей.
Так как угол ромба равен 80°, то другой угол равен 100°.
Из условия видно, что одна из диагоналей равна 20 см.
Пусть вертикальная диагональ равна 20 см, а горизонтальная равна x см.
Тогда можем использовать тригонометрические функции и теорему косинусов для нахождения стороны ромба:
2 BD^2 = 20^2 + x^2 - 2 20 x cos(100°)
BD^2 = 400 + x^2 - 40x * cos(100°)

Также можем воспользоваться теоремой косинусов для нахождения периметра ромба:
4 BD = 2 AC = 2 sqrt(BD^2 + BD^2 - 2 BD BD cos(80°))
4 BD = 2 sqrt(BD^2 + BD^2 - 2 BD^2 cos(80°))
BD = 20√(1 + cos(80°))

Подставим это значение в уравнение для нахождения стороны ромба:
BD^2 = 400 + x^2 - 40x cos(100°)
(20√(1 + cos(80°)))^2 = 400 + x^2 - 40x cos(100°)
400 (1 + cos(80°)) = 400 + x^2 - 40x cos(100°)
x^2 - 40x cos(100°) = 400 cos(80°)

Решить данное уравнение в виде корня из длины не представляется возможным, так как требуется подробный алгоритм нахождения данных значений.