Для начала найдем длины сторон треугольника АВС.

Из условия имеем:
АВ = 2√2
Радиус описанной окружности R = 2
Отношение длин сторон AC и BC: AC/BC = √8 = 2√2

Пусть ВС = х. Тогда AC = √8 х = 2√2 х

Так как R = 2, то R = ВС / 2, то есть BC = 2R = 4. Тогда x = 4

AC = 2√2 * 4 = 8√2

Теперь найдем площадь треугольника по формуле Герона:

p = (AB + AC + BC) / 2
p = (2√2 + 8√2 + 4) / 2 = (10√2 + 4) / 2 = 5√2 + 2

S = √(p(p-AB)(p-AC)(p-BC))
S = √((5√2 + 2)(5√2 + 2 - 2√2)(5√2 + 2 - 8√2)(5√2 + 2 - 4))
S = √((5√2 + 2)(5√2 + 2 - 2√2)(5√2 - 6)(5√2 - 2))
S = √((5√2 + 2)(3√2 + 2)(5√2 - 6)(5√2 - 2))
S = √((15√4 + 10√2 + 10√2 + 4)(25√4 - 30√2 - 50√2 + 12))
S = √((152 + 20 + 10 + 4)(252 - 80 - 50 + 12))
S = √((30 + 30)(50 - 130))
S = √(60 * (-80))
S = √(-4800)
S = 20√3

Ответ: площадь треугольника ABC равна 20√3.