Через середину гипотенузы прямоугольного треугольника ABC проведен к его плоскости перпендикуляр KO. Докажите, что наклонные KA, KB и KC равны. Вычислите длины проекций этих наклонных на плоскости треугольника, если AC=BC=a.
Через середину гипотенузы прямоугольного треугольника ABC проведен к его плоскости перпендикуляр KO. Докажите, что наклонные KA, KB и KC равны. Вычислите длины проекций этих наклонных на плоскости треугольника, если AC=BC=a.
Похожие вопросы
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
Поскольку точка О лежит на середине гипотенузы AB, то треугольник AOB - прямоугольный, причем OA=OB=AB/2.
Поскольку KO перпендикулярен гипотенузе AB, отрезки KA и KB равны между собой ониравнырадиусамокружностей,описанныхвокругтреугольниковAOKиBOKсцентромвточкеOони равны радиусам окружностей, описанных вокруг треугольников AOK и BOK с центром в точке Oониравнырадиусамокружностей,описанныхвокругтреугольниковAOKиBOKсцентромвточкеO.
Итак, KA=KB.
Так как треугольник ABC равнобедренный, точка O также является основанием высоты, опущенной из вершины C.
Следовательно, отрезок OC проходит через O и перпендикулярен гипотенузе AB. Точка О - середина гипотенузы AB, поэтому треугольник COB также прямоугольный, при этом OC=OB=AB/2.
Таким образом, KC=KB=KA=AB/2.
Теперь вычислим длины проекций наклонных на плоскость треугольника. Для этого рассмотрим треугольник AKB.
В данном треугольнике угол AKB прямой, поэтому проекция наклонной KA на плоскость треугольника ABC равна KA*cosBACBACBAC, где BAC - угол между KA и горизонтальной проекцией KA.
Поскольку угол BAC равен 45 градусам таккактреугольникABCравнобедренныйипрямоугольныйтак как треугольник ABC равнобедренный и прямоугольныйтаккактреугольникABCравнобедренныйипрямоугольный, а KA=AB/2=a/2, то проекция KA на плоскость треугольника ABC равна a/2a/2a/2cos454545=a/2</em>sqrt(2)2</em>sqrt(2)2</em>sqrt(2).
Аналогично вычисляются проекции KB и KC на плоскость треугольника ABC. Получим, что проекции всех наклонных на плоскость треугольника ABC равны a/2∗sqrt(2)2*sqrt(2)2∗sqrt(2).
Итак, наклонные KA, KB и KC равны между собой, и их проекции на плоскость треугольника ABC равны a/2∗sqrt(2)2*sqrt(2)2∗sqrt(2).