Угол между двумя высотами остроугольного треугольника авс равен 60°, и точка пересечения высот делит одну из них в отношении 2:1, считая от вершины треугольника. докажите, что треугольник авс равносторонний.
Угол между двумя высотами остроугольного треугольника авс равен 60°, и точка пересечения высот делит одну из них в отношении 2:1, считая от вершины треугольника. докажите, что треугольник авс равносторонний.
Похожие вопросы
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
Пусть H1 и H2 - точки пересечения высот с соответственно сторонами AC и BC, и дано, что угол между ними равен 60°. Также известно, что точка пересечения делит одну из высот в отношении 2:1.
Обозначим длину стороны AC как a, стороны BC как b, сторону AB как c. Пусть точка пересечения делит H1 в отношении 2:1, то есть AH1 = 2x и H1C = x.
В силу подобия треугольников ABH1 и BCH2:
BH1/BH2 = AB/BC
BH1/(BH1 + AH1) = c/(b-x)
BH1/(BH1 + 2x) = c/b
Отсюда находим, что BH1 = 2c/3 и AH1 = 4c/3. Значит, H2C = 2BH2 = 2BH1 = 4c/3.
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник CH2A. Из условия, угол H2CH1 = 60°, значит H2A также равно 60°.
Чтобы доказать, что треугольник AVS равносторонний, нам нужно доказать, что AB = AC. Рассмотрим треугольник ABH1:
cos(60°) = AB/BH1
1/2 = c/(2c/3)
1/2 = 3/2
AB = AC
Таким образом, треугольник AVS равносторонний.