Теорема: Площадь треугольника можно вычислить как половину произведения его основания на высоту, проведенную к этой основанию.

Доказательство:

Пусть у нас есть треугольник со сторонами a, b и c, и пусть h - высота, опущенная на основание a.

Известно, что площадь треугольника равна S = 1/2 a h.

Теперь применим формулу Герона для площади треугольника:

S = sqrt(p (p - a) (p - b) * (p - c)),

где p - полупериметр треугольника, равный (a + b + c) / 2.

Подставим значения полупериметра и сторон треугольника в формулу:

S = sqrt(((a + b + c) / 2) (((a + b + c) / 2 - a) ((a + b + c) / 2 - b) * ((a + b + c) / 2 - c)),

S = sqrt(((a + b + c) / 2) ((b + c - a) / 2) ((a + c - b) / 2) * ((a + b - c) / 2)).

Упростим это выражение:

S = sqrt((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) * (a + b - c) / 16),

S = 1/2 sqrt((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b - c)).

Теперь сравним это выражение с формулой изначальной площади треугольника: S = 1/2 a h.

Мы видим, что S = 1/2 a h = 1/2 sqrt((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b - c)).

Таким образом, мы доказали, что площадь треугольника можно вычислить как половину произведения его основания на высоту, проведенную к этой основанию.