Для доказательства данного утверждения рассмотрим треугольники AMB и CMB.

Поскольку точка М лежит на медиане треугольника ABC, то по свойству медианы отношение площади треугольника AMB к площади треугольника CMB равно 1.

Пусть h - высота треугольника ABC, проведенная из вершины B, тогда площади треугольников AMB и CMB будут равны:

S(AMB) = (1/2)AMh,
S(CMB) = (1/2)CMh.

Таким образом, по свойству медианы:

AM/CM = S(AMB)/S(CMB) = 1.

Отсюда следует, что AM = CM, что и требовалось доказать.