Для доказательства этого утверждения, докажем, что стороны треугольника KMN являются половинами соответствующих сторон треугольника ABC.

Пусть AB = a, BC = b, AC = c - стороны треугольника ABC. Тогда точки K, M, N делят соответственно стороны AB, BC, AC пополам, то есть AK = KB = a/2, BM = MC = b/2, CN = NA = c/2.

По построению, отрезки KN, KM и MN являются сторонами треугольника KMN. Из треугольников KAN, KNC, KMN получаем:

KN = (a/2) + (c/2) = (a + c)/2
KM = (a/2) + (b/2) = (a + b)/2
MN = (b/2) + (c/2) = (b + c)/2

Таким образом, стороны треугольника KMN равны половине соответствующих сторон треугольника ABC. Следовательно, периметр треугольника KMN равен половине периметра треугольника ABC.

Таким образом, утверждение доказано.