1) Используя формулу площади треугольника $S=\frac{1}{2}\times \text{сторона}\times \text{высота}$, найдем площадь треугольника ABC:
$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\times 32\times 22=352{\text{см}}^2$$ Так как площадь треугольника ABC равна площади треугольника с высотой к стороне BC, то используем формулу для площади треугольника:
$$352=\frac{1}{2}\times 44\times h$$ $$h=\frac{352\times 2}{44}=16\text{см}$$ Ответ: высота проведенная к стороне BC равна 16 см.

2) Площадь ромба можно найти как произведение половины произведения диагоналей:
$$S=\frac{1}{2}\times 12\times 12\times \sin 30^{\circ }=36{\text{см}}^2$$ Ответ: площадь ромба равна 36 квадратным сантиметрам.

3) Площадь прямоугольной трапеции можно найти как произведение полусуммы оснований на высоту:
$$S=\frac{30+30}{2}\times 30\times \sin 135^{\circ }=450{\text{см}}^2$$ Ответ: площадь прямоугольной трапеции равна 450 квадратным сантиметрам.

4) Пусть один катет треугольника равен $x$, тогда другой катет равен $2x$. Используя формулу площади прямоугольного треугольника $S=\frac{1}{2}\times {\text{катет}}_1\times {\text{катет}}_2$, найдем катеты:
$$S=\frac{1}{2}\times x\times 2x=64$$ $$x^2=32$$ $$x=4\sqrt{2}$$ $$2x=8\sqrt{2}$$ Ответ: катеты треугольника равны $4\sqrt{2}$ и $8\sqrt{2}$.

5) Пусть $h_1$ - высота, проведенная к меньшей стороне, $h_2$ - высота, проведенная к большей стороне. Используя формулу для площади параллелограмма $S=\text{большая сторона}\times h_2$, $S=\text{маленькая сторона}\times h_1$, найдем $h_1$:
$$18\times h_2=30\times 6$$ $$h_2=10$$ Так как прямоугольные параллелограммы имеют равные высоты, то $h_1=10$ см.
Ответ: высота, проведенная к меньшей стороне параллелограмма, равна 10 см.

6) Пусть основание равнобедренной трапеции равно $a$. Используя формулу для площади трапеции $S=\frac{1}{2}\times (a_1+a_2)\times h$, где $a_1$ и $a_2$ - основания, найдем площадь трапеции:
$$S=\frac{1}{2}\times (14+34)\times 14\times \tan 45^{\circ }=336{\text{см}}^2$$ Ответ: площадь трапеции равнобедренной трапеции равна 336 квадратным сантиметрам.