Да, окружность, описанная вокруг четырехугольника, углы которого по порядку относятся как 5:9:10:7, существует. В данном случае, центр окружности будет находиться в точке пересечения диагоналей четырехугольника. Так как сумма углов в четырехугольнике равна 360 градусов, то углы данного четырехугольника будут равны 5x, 9x, 10x и 7x градусов, где x - коэффициент пропорциональности.

Из условия задачи получаем:
5x + 9x + 10x + 7x = 360
31x = 360
x ≈ 11.61

Таким образом, углы данного четырехугольника будут примерно равны:
5x ≈ 58.05 градусов
9x ≈ 104.49 градусов
10x ≈ 116.14 градусов
7x ≈ 81.27 градусов

Итак, можно построить окружность, описанную вокруг данного четырехугольника.