1) Пусть AB = BC = x, AM = MC = y. Так как треугольники BMN и BCN подобны, то (\frac{BM}{BC} = \frac{MN}{CN}). Так как MN+CN=x и BC=x, то (\frac{BM}{x} = \frac{x-CN}{CN}).
Отсюда получаем (\frac{12}{15} = \frac{x-CN}{CN}). Так как площадь BMN равна 12, то (\frac{1}{2}BMMN = 12), т.к. MN = x-CN, то (\frac{BM(x-BM)}{2} = 12, BMx -BM^2 = 24, BM^2 -BMx +24 = 0). Так как BM и BN примерно равны, то (BN = \frac{x-BM}{2}). Так как площадь BCN равна 15, то (\frac{1}{2}BCCN=15), т.к. x = BC и CN = x - BN, то (\frac{xx-BN(x-BN)}{2} = 15, \frac{xx-(x-BM)(\frac{x-BM}{2})}{2} = 15, \frac{x^2-(x^2-xBM+BM^2/2-BM^2/2)}{2}=15), (xBM -BM^2 = 30 ). Таким образом, уравнение (BM^2 -BMx +24 = 0) и (BM^2 -xBM + 30 = 0). Решим это систему уравнений и получим BM = BN = 4, x = 8, AC = (\sqrt{y^2 + 2}) = x, (y^2=AC^2-2, y^2=64-2=62), следовательно треугольник ABC прямоугольно, BC = (\sqrt{2}8 = 8), (S_{ABM} = \frac{1}{2}BMAM = 12, 32 = 4y, y = 8, x=AC=BC=8)

2) Так как треугольники AHK и ABD подобны, то (HK/2 = 1/HK = 1, HK^2 = 2, HK=\sqrt{2}). Так как треугольники BKH и BCD подобны, то (1/BK = 2/\sqrt{2} = \sqrt{2}, BK = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}). Расстояние между прямыми AH и BK и соответственно параллельно GH, так что расстояние равно HK = (\sqrt{2}).