Площадь прямоугольного треугольника равна 15 дм², поэтому можно записать уравнение:

(а * b) / 2 = 15,

где а и b - длины катетов.

Также известно, что сумма длин катетов равна 11 дм, то есть:

a + b = 11.

Теперь можно решить данную систему уравнений. Подставим значение b из второго уравнения в первое:

(a * (11 - a)) / 2 = 15,

11a - a² = 30,

a² - 11a + 30 = 0.

Далее найдем корни квадратного уравнения:

D = (-11)² - 4 1 30 = 121 - 120 = 1.

a1 = (11 + 1) / 2 = 6, a2 = (11 - 1) / 2 = 5.

Таким образом, длины катетов равны 6 дм и 5 дм.